77.358.746.949

Si hubiera un DNI mundial el número del título sería el mío.

Según la nota The World at Seven Billion de la BBC, 3.403.343.843 (tres mil 403 millones.... etc.) era la cantidad de seres humanos que había en la Tierra en el momento (día) que nací, incluyéndome.

Según el mismo estudio de la United Nations Population Fund, hasta el día en que nací vivieron en nuestro planeta más de 77 mil millones de personas, o con más precisión: 77.358.746.948 personas.

El dato más escalofriante es que el estudio dice que en las próximas semanas la población de la Tierra alcanzará la cantidad de 7 mil millones de habitantes, es decir, en 45 años (mi edad actual) la población se duplicó y sumó otros 200 millones de personas aproximadamente (3.400 x 2 + 200 = 7.000).

Otro dato interesante es que, en este momento, en todo el planeta nacen unos 15.347 bebés por hora y fallecen en el mismo tiempo unas 6.418 personas.

El día que nací, también nacieron otros 314.902 bebés alrededor del mundo que me quitaron la exclusividad ¡Y yo que me sentía tan especial!

Aunque debo reconocer que no tengo tanta mala suerte... desde que nací se han extinguido más de 900.000 especies...

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Son ∞ los monos

Es prácticamente seguro que un mono que pulse teclas al azar en el teclado de una máquina de escribir durante un período de tiempo infinito, escriba un texto finito particular –un libro- por ejemplo la Biblia.

Al menos eso es lo que dice el teorema de los infinitos monos.

Tomando como ejemplo una frase de unos 50 caracteres, se puede calcular que un mono que pulsara una tecla por segundo tardaría en promedio, para escribir la frase correctamente, una cantidad de tiempo similar a la edad actual del Universo.

Aunque es un poco difícil de imaginar un mono que viviera tantos años, es casi seguro que algunos trabajan en las redacciones de los diarios y sitios de internet…
lksdmw2d sakmoe d qlkewlm  p3 sdlq kwlp3opmfe df p oedm,d !!!

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Vidrio soplado

Damos por sentadas muchas cosas.
Es lógico. No podemos cuestionarnos cada paso que damos, cada palabra que decimos (aunque es de inteligentes al menos pensarlas antes de decirlas), cada suceso de nuestras vidas.

Yo por ejemplo doy por sentado que el actual INDEC miente, que Kretina es tan mala como la prensa, que el dólar se irá a la m…. un día de estos… y un montón de cosas más que doy por sentado que no es necesario que las detalle para que me crean.

Cuando contamos o hacemos cálculos damos por sentadas muchas verdades de las cuales no tenemos en general la más mínima idea de que son tales.

Pero a un matemático, algún día, tarde o temprano, le llega la hora de preguntarse si lo que está haciendo tiene algún sustento. A Giuseppe Peano eso le ocurrió allá por 1889 (en realidad la duda le debe haber aparecido algún tiempo antes) cuando en su obra Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita presentó sus cinco axiomas de los números enteros positivos.

Los axiomas de Peano son la base estructural de la construcción de la aritmética y la teoría de números y los aplicamos cada vez que contamos y sumamos.
Los cinco axiomas dicen algo así como:


1. 0 (cero) es un número.
2. El sucesor de cualquier número también es un número.
3. Si n y m son números y sus sucesores son iguales, entonces n y m son iguales.
4. 0 (cero) no es el sucesor de ningún número.
5. Si S es un conjunto de números que contiene al cero y si el sucesor de cualquier número que pertenece a S también pertenece a S, entonces S contiene todos los números.

Si estas cinco “verdades” les parecen una pelo…tudez, déjenme decirles que sin ellas casi toda las matemáticas se vendrían abajo y aunque eso no le interese a la mayor parte del universo, sepan que no serían capaces de saber que después del 1 y del 2 viene el 3, o que 1 más 1 es dos.

A propósito, estos cinco axiomas no bastan para salir a la calle y gritar a los cuatro vientos que 1+1=2… ¡hay que demostrarlo!
Eso es lo que hicieron los filósofos y matemáticos británicos Bertrand Russel y Alfred North Whitehead en su obra Principia Mathematica, una obra en tres volúmenes y casi dos mil páginas, publicada entre 1910 y 1913. En esta obra los autores intentan deducir las verdades matemáticas a partir de axiomas y reglas de inferencia de lógica simbólica (créanme que lo estoy leyendo de un libro, no tengo la más mínima idea de lo que es lógica simbólica).

La demostración de que 1+1=2 ocupa ¡varios cientos de páginas! y finaliza con la frase “La proposición anterior puede resultar útil en alguna ocasión”.

Como ven, contar y sumar no es soplar y hacer botellas…

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Fractal

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Yo creo que con estas definiciones está perfectamente claro lo que es un fractal... ¡mentira!.. yo tampoco entendí... pero por referencias y lecturas adicionales tengo una vaga idea de lo que es.

Para ayudar a entenderlo y dado que me pareció muy interesante, les dejo este video donde se muestra un famoso fractal sobre el que se hace zoom y se deja ver cómo la estructura se va repitiendo a medida que uno se "introduce en las profundidades" de estos objetos matemáticos.

Lo interesante también es resaltar que muchos elementos de la naturaleza tienen estructuras fractales. Piensen en flores, hojas, caparazones, etc.



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Baúl científico

Ian Stewart, nacido en 1945, es catedrático de Matemáticas en la Universidad de Warwick, miembro de la Royal Society y distinguido divulgador científico. Es autor, entre otras obras, de ¿Es Dios un geómetra?, ¿Juega Dios a los dados?, El segundo secreto de la vida, Locos por las matemáticas, Cartas a una joven matemática, Belleza y verdad, Cómo cortar un pastel, La cuadratura del cuadrado e Historia de las matemáticas de los últimos 10.000 años (libro que ya leí, que me pareció muy bueno, y que ya comenté en este blog... ver entrada http://maurito66.blogspot.com/2008/12/lo-que-estoy-leyendo.html).

Hace pocos días terminé de leer su última publicación: "Baúl de tesoros matemáticos" que es una colección muy interesante de acertijos, curiosidades, historias y problemas matemáticos.

Stewart va mezclando los temas simples, complicados, anecdóticos, entretenidos y otros incluso divertidos y con eso logra un libro excelente e imposible de dejar antes de llegar al final.

Los temas están muy bien explicados y aún cuando el lector no sea especialista en esta ciencia y algunos casos de matemática avanzada no sean sencillos de entender, el autor logra con su lenguaje sencillo y claro que los mismos sean muy accesibles, al menos para llegar a un entendimiento básico de los contenidos.

Varios de los problemas que se plantean no están resueltos en el cuerpo principal del libro para que el lector tenga oportunidad de resolverlos. En todos esos casos, la resolución y el resultado se puede encontrar en las últimas páginas.

La edición de Crítica (Barcelona) es de tapas duras y 317 páginas cosidas, de excelente calidad.

En síntesis, excelente material muy bien explicado y presentado, excelentes contenido y continente.

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¡Qué grande este Google!

A través de la historia de las diferentes civilizaciones el hombre ha necesitado expresar cantidades y números cada vez mayores.

En nuestra vida cotidiana, y sobre todo tratándose de dinero, es probable que nos alcance con poder expresar cientos, miles o cientos de miles si estamos hablando de gente rica o de esas pocas ocasiones en las que compramos una propiedad (casa, departamento o algo por el estilo).
Para esos casos, entonces, nos basta con tener
100 - cien: un uno seguido de 2 ceros
1000 - mil: un uno seguido de 3 ceros
100.000 - cien mil: un uno seguido de 5 ceros

Si usted es millonario, entonces su resumen bancario tendrá números mayores a esos y estará habituado a tratar con
1.000.000 - millón: un uno seguido de 6 ceros

En matemáticas todas esas cantidades pueden escribirse como potencias de 10, de la siguiente forma:
100 = 10^2 (10^2 significa 10 x 10, lo cual es igual a 100)
1000 = 10^3
100.000 = 10^5
1.000.000 = 10^6

Esto no pretende ser una clase de matemáticas, pero necesito mencionarlo para hacer más fácil lo que sigue.
Nótese que la potencia de 10 (el número que sigue al símbolo ^) es exactamente la cantidad de ceros que le siguen al 1.

Pero volviendo a los números que necesitamos los humanos en diversas disciplinas, los que ya mencioné no bastan. Hace mucho ya que surgió la necesidad de hablar de cantidades mayores, mucho mayores.

Aquí van. Es probable que nunca hayan escuchado acerca de muchas de ellas...

Billón: 10^12 (un 1 seguido de 12 ceros, es decir, un millón de millones).
Trillón: 10^18
Cuatrillón: 10^24
Quintillón: 10^30
Sextillón: 10^36
Septillón: 10^42
Octillón: 10^48
Nonillón: 10^54 (espero que a esta altura no se hayan dormido... ¡cuac!)
Decillón: 10^60

Algunos ejemplos:
Masa de la Tierra: 6 cuatrillones de kilos, 6x10^24
Número de átomos en el cuerpo humano: 10^28
Número de partículas elementales en todo el Universo (electrones, protones, etc.): 10^82

Pero hay gente ambiciosa que no se conforma con esas cantidades, nada le alcanza. Es el caso del matemático estadounidense Edward Kasner quien en cierta ocasión le pidió a su sobrino de 9 años que inventara un nombre para un número gigantesco: un uno seguido de 100 ceros (10^100). El niño no sólo le dio el nombre para ese número sino también para otro aún más inimaginable que era un 1 seguido de los ceros que tenía el primero, es decir 10^(10^100).

Para el primero, el nombre inventado fue googol (pronunciar gúgol), y para el segundo que sería un uno seguido de un googol de ceros, el nombre fue googolplex (gúgolplex).

Bien espero que hayan llegado hasta aquí, porque lo realmente interesante de esta entrada es el hecho que el famoso buscador de internet Google tomó su nombre del número googol, quizá pensando en la cantidad de información capaz de manejar en sus búsquedas.

Habrá que preguntarle a Google si tiene en sus servidores una cantidad tal de datos que sería un trillón (!!) de veces superior que el total de partículas elementales de todo el Universo.

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Asesinatos matemáticos

Claudi Alsina nació en Barcelona en 1952. Es catedrático de matemáticas de la Universidad Politécnica de Catalunya, en su ciudad natal.
Ha realizado una amplia labor de investigación matemática, de innovación educativa y de divulgación, tanto a nivel nacional como internacional. Autor de numerosas obras de popularización de las matemáticas, es un reconocido escritor y conferenciante…

Aunque no todo eso me parece cierto después de leer el libro, al menos es lo que dice la solapa de la tapa de su última obra “Asesinatos matemáticos”, publicada en junio de este año.

En la tapa, como subtítulo, se lee: “Una colección de errores que serían divertidos si no fuesen tan frecuentes”.

Aunque el libro tiene 236 páginas, la “colección de errores” es bastante limitada. Hay unos cuantos, claro. Pero están mezclados entre varios párrafos que no tienen nada que ver con errores ni con matemáticas. Y encima de eso, casi nada de lo que dice el libro es divertido, ni aún si fueran poco “frecuentes”.
A modo de ejemplo transcribo un párrafo:

Zonas de no fumadores

Un cartel que ha aparecido en las puertas de muchos lugares públicos para evitar que se fume en el interior y también junto a la salida dice: 

Prohibido fumar dentro y fuera del centro 

Lo de “dentro” está claro (salvo balcones o patios, ya que pueden estar dentro pero son zonas exteriores). Lo que ya es más discutible es lo de “fuera”, dado que este apelativo incluye en principio la totalidad del universo.

¿Alguien clasificaría esta anécdota o curiosidad como matemática? Yo creo que no. Me parece más un grupo de palabras para llenar el espacio de un libro que promete una cosa y da una bastante diferente.

Y no es barato. Por el mismo precio se pueden comprar muchos otros libros mucho mejores que este. Si el autor hubiera dejado sólo los hechos  matemáticos el libro tendría al menos la mitad de páginas. Y nótese que no digo errores, ni tampoco “puramente” matemáticos, porque si fuese así, el libro quedaría reducido a un folleto.

A pesar de mi opinión negativa del libro, si uno omite el subtítulo y se dispone a leer curiosidades varias relacionadas con las matemáticas o los matemáticos o quienes alguna vez han hecho un cálculo, entonces en ese caso, el libro puede ser considerado un pasatiempo moderadamente interesante.

Otro punto en contra que quiero comentar es que el autor, al hablar de los errores cometidos no suele explicar el porqué son errores. Algunos son bastante obvios o sencillos y cualquiera con minimos conocimientos de cálculo puede comprenderlos. Pero otros, no. Son cuestiones no triviales con las cuales el común de la gente no está familiarizado y no se entienden. Uno se imagina al autor divirtiéndose (como él dice en el subtítulo de la obra) mientras el público no sabe de qué se ríe. Una lástima, gran parte de la divulgación científica se pierde.

En fin... para terminar, de sus otras obras y del autor no puedo decir mucho más… bueno sí…conociendo esta:

¡Es para matarlo!

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¿Un billón o one billon?

¿Se acuerdan de los falsos amigos? Bueno, si quieren pueden ir a esta entrada http://maurito66.blogspot.com/2009/05/falsos-amigos.html  y a la segunda parte: http://maurito66.blogspot.com/2009/05/falsos-amigos-continuacion.html  y luego seguir leyendo esta.

Resulta que es más común de lo que parece que se traduzca “one billon” desde el inglés como el español “un billón”. La realidad es que el asunto es bastante más complejo que sólo una cuestión de traducción entre el inglés y el español, ya que si un inglés (de Inglaterra) le dice one billon, un español (de España o un argentino de Argentina) debe interpretarlo correctamente como “un billón”.

A propósito: un billón es un millón de millones, es decir, un 1 seguido de 12 ceros, 1.000.000.000.000

Pero si usted se cruza con un yanqui (de Estados Unidos, claro) y le dice one billon, usted debe traducirlo como “un millardo”, es decir un 1 seguido de 9 ceros: 1.000.000.000, o lo que es lo mismo, mil millones.

Efectivamente, en EEUU one billon no es lo mismo que un billón en el resto del mundo.

Así que, a prestar atención cuando lea una publicación con números que provenga del aquel país del norte.

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Poincaré y Perelman contra el cáncer

En el siglo XIX se observó que en R3 toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera, por lo que podemos afirmar que topológicamente sólo hay una variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa que es la esfera.

En 1904, el matemático francés Henri Poincaré conjeturó que el resultado obtenido para la 2-esfera de R3 tenía un análogo para la 3-esfera de R4. En otras palabras, en R4 toda variedad de dimensión 3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión 3.

¡Ahá! ¿A que no entendieron nada?

Bueno, yo tampoco. Y se preguntarán por qué hablo de lo que no sé… bueno, no soy el único. Enciendan la radio, el televisor, o escuchen a su jefe y tendrán miles de ejemplos.

Volvamos a la conjetura de Poincaré (el muchacho de la foto de arriba) que es lo que está enunciado en el comienzo de esta entrada.

La siguiente figura ayuda a visualizar el significado de la conjetura:

En una 2-esfera (esfera en un espacio de tres dimensiones, es decir una pelota de fútbol del tipo de la Jabulani), cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. Esta condición caracteriza la 2-esfera. La conjetura de Poincaré extiende este hecho a la 3-esfera en la cuarta dimensión, más difícil de visualizar y que no fue demostrada sino hasta el siglo XXI.

Entre 1961 y 1986 se demostraron los casos equivalentes para 5, 6 y más de 7 dimensiones (¿se imaginan una Jabulani de 7 dimensiones?), pero el de la cuarta dimensión, justamente el caso de la conjetura de Poincaré se resistía a ser demostrado.

Esta conjetura es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Son problemas con verdadera relevancia en matemáticas y que, por diferentes hechos, se resisten a su resolución. La Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada como tal y se convirtió en el Teorema de Poincaré, tras su demostración definitiva en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman.

Los diarios de hoy informan que Perelman anunció que rechaza el premio de un millón de dólares que se le concedió por haber resuelto el problema. La noticia puede parecer vieja, sin embargo la demora en el premio puede deberse a los requisitos que deben verificarse antes de considerar válida la demostración y el autor.

El caso es que este ruso se niega a recibir un palo verde ¡pueden creerlo! ¡Es TERIBLE"!

Bueno, ¿y por qué alguien querría pagar tanto dinero por una solución de un problema que casi nadie puede ver o entender? Como pasa con casi todas (por no decir todas, por las dudas que haya una excepción) las demostraciones de teoremas matemáticos y todas las teorías que existen, siempre hay alguien que encuentra una aplicación.

A veces, como en este caso, la aplicación no surge de lo que Poincaré conjeturaba con sus pelotas, digo, con las esferas, sino de las herramientas matemáticas desarrolladas para llegar a la demostración de la conjetura.

En efecto, Perelman se valió de algo llamado técnica de flujos de Ricci (nada que ver con Nina) para llegar a su demostración.

Hace un par de años, se publicó una propuesta de modelado de crecimiento de tumores usando la técnica de flujos de Ricci. Los autores proponen el uso de esa técnica para el control de la formación de tumores cancerígenos multicelulares no irrigados.

Como ven, si es que llegaron a leer hasta aquí, este es otro ejemplo de las aplicaciones prácticas de las matemáticas que tanto cuestan ser apreciadas por la inmensa mayoría de la humanidad, en la cual no me incluyo, no por no ser humano, sino porque me gustan las matemáticas y sus aplicaciones (aunque no comprenda todas).

 

Fuentes de información:

http://topologia.wordpress.com/2009/03/04/la-conjetura-de-poincare/

http://francisthemulenews.wordpress.com/2008/06/06/¿para-que-sirve-la-demostracion-de-la-conjetura-de-poincare-o-aplicaciones-del-flujo-de-ricci-al-cancer/

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Seguro que era cornudo

Se llamaba Evangelista Torricelli y fue un físico y matemático italiano que vivió entre 1608 y 1647. Fue discípulo de un discípulo de Galileo y trabajó durante los últimos tres meses de la vida del maestro Galilei como su amanuense (copista, escriba).


Torricelli es famoso por el descubrimiento de la "existencia" de la presión atomosférica y del principio de funcionamiento de lo que hoy conocemos como barómetro. Fue también autor de varios teoremas, descubrimientos y diseños de diversa índole. Por ejemplo, perfeccionó el telescopio y el microscopio e incluso fabricó lentes que aún hoy se conservan y llevan su firma grabada.

Pero si en algo nos complicó la vida este cornudo fue por el descubrimiento de un sólido infinitamente largo conocido en la actualidad como el Cuerno de Gabriel. Hasta él mismo estaba sorprendido de la paradoja que tenía delante de sus ojos y que en esos días armó bastante revuelo académico y fuertes polémicas, no tanto como Graciela y Aníbal, pero casi.

El Cuerno de Gabriel, también conocido como la Trompeta de Torricelli es una figura geométrica que tiene la interesante característica de poseer una superficie infinita, pero un volumen finito (es decir acotado, que no supera cierta cantidad). Aquí les muestro cómo sería el aspecto de este paradójico objeto:

Como ven, se parece a las cornetas usadas en las canchas de fútbol o en el carnaval carioca de algún casamiento. La diferencia con esos objetos reales, es que la parte angosta de la trompeta continúa infinitamente haciéndose cada vez más delgada, no llegando nunca a cerrarse por el extremo derecho.

Por supuesto esta trompeta puede describirse con fórmulas matemáticas, al igual que su volumen y su superficie, pero una forma "terrenal" de mostrar dónde estaría la paradoja es decir que se necesitaría una cantidad infinita de pintura para pintar la cara interna, pero se podría llenar la trompeta entera con una cantidad finita de pintura, logrando de esta forma pintarla sin usar una cantidad infinita... ¡Qué lo parió, Mendieta!, como diría Inodoro Pereyra.

Por supuesto, la paradoja, inexistente por cierto, puede aclararse con unas hermosas ecuaciones y operaciones matemáticas que no voy a mencionar aquí para no ofender la capacidad de comprensión de mi cerebro (y el de ustedes, claro). Pero con el ejemplo de la pintura también se puede explicar todo. Sería más o menos así...

La trompeta en cuestión se hace cada vez más delgada y por eso, en algún momento el diámetro de la misma comenzará a ser menor que el tamaño de una molécula de pintura. Entonces, en ese momento, una sola molécula de pintura será suficiente para cubrir todo lo que resta de la superficie de la trompeta. Pero, aún considerando que la capa de pintura y sus moléculas pueden hacerse cada vez más delgadas, también se puede explicar la paradoja y concluir que basta con una cantidad finita de pintura para pintar el interior. La explicación completa de este argumento requiere el uso de conceptos tales como límite e integrales matemáticas, por lo que excede un poco el alcance de este blog.

Lo que me gustaría resaltar de este caso curioso es la noción de que existen objetos cuyas dimensiones no son siempre intuitivamente naturales y que se puede dar la situación simultánea de que un objeto tenga una superficie que no para de crecer y sin embargo tiene un volumen finito, acotado por cierta cantidad por ejemplo de litros, mililitros o la medida de volumen que nos quede más cómoda.

Por otro lado, conociendo estos objetos curiosos, alguien puede tratar de consolarse e intentar comprender por qué siendo una sola persona, con un peso, altura y volumen definido... se puede ser (no en todos los casos, claro) al mismo tiempo, un tipo... infinitamente cornudo.


Fuente: Wikipedia.

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La quinta de Paenza

Creo que a esta altura del partido no necesito decir quién es Paenza, pero por las dudas que haya algún desorientado, les aclaro que estoy hablando de Adrián Paenza, Doctor en Matemáticas, autor de varios libros, columnista de varios diarios, periodista deportivo, conductor de 2-3 programas de TV y creo que no me olvido de nada importante.

Bueno, resulta que ya tenemos la quinta parte de la serie Matemática... ¿estás ahí?, una colección de libros de anécdotas curiosas, historias y problemas de matemáticas (yo prefiero nombrarlas en plural) que este autor viene ofreciendo desde hace algunos años. La verdad, no recuerdo cuándo salió el primero y no tengo ganas de levantarme de la silla para buscar el primer tomo y verificar este dato. De más está decir que tengo todos las partes.
Hace un par de días compré la número 5.

El libro está estructurado en 3 capítulos: Problemas, Historias y Soluciones. Primero plantea unos cuantos problemas para que el lector intente resolverlos. Luego cuenta unas pocas historias o anécdotas de las matemáticas (apenas 40 páginas) y al final en la tercera parte muestra las soluciones a los problemas planteados al inicio.

No es un libro para leer en la cama, con excepción de las 40 páginas de historias. Para el resto hay que estar sentado, con papel y lápiz.
No me gustó. Cuando pago por algo quiero que me den algo a cambio. No quiero pagar para trabajar yo.
Aún no me puse a resolver los problemas (lo voy a hacer, ya que compré el libro, al menos lo voy a hacer por curiosidad) y por eso no digo que el libro sea malo. Le dejo el beneficio de esa duda.

Sólo hay un detalle que impidió que lo tirara por la ventana: entre las historias está el relato del Último Teorema de Fermat, un tema que me apasionó desde la primera vez que lo vi.

Fermat fue o bastante jodido o bastante boludo. Leyendo un libro de matemáticas escribió su famosa ecuación en un margen, expuso el enunciado del que luego sería este famoso teorema, aclaró allí mismo que no tenía espacio para escribir la demostración y... se murió.
Bueno, no se murió en ese momento, pero se murió en 1665 sin dejar escrita la demostración en ningún lugar.

A partir de allí varios matemáticos tratarían de demostrarlo. Lo consiguió, luego de un primer intento fallido, Andrew Wiles en 1994 (y con un poquito de ayuda). Es decir, 329 años de esfuerzo para demostrar este importantísimo teorema, base de la Teoría de Números.

Lo fascinante de esta historia, además del teorema en sí, es que Fermat no era matemático, era ¡abogado!

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¡Me estás cachando!

La paradoja de la banda elástica no es una paradoja en sentido estricto, pero choca con nuestro sentido común debido a que tiene una solución que parece imposible.

Nos encontramos con una esfera perfectamente lisa con un millón de veces el tamaño de nuestro Sol. Una banda de acero abraza estrechamente a esta esfera alrededor del ecuador.

Esta banda de acero se alarga en 1 metro, de manera que se eleve de la esfera a igual altura en todo su contorno.
¿Esto dejará la banda despegada de la esfera a una altura suficiente como para poder:

1. ¿Deslizar un papel bajo la banda?

2. ¿Deslizar una mano bajo la banda?

3. ¿Deslizar una pelota de tenis bajo la banda?

Aunque a priori la respuesta que daríamos es que es imposible siquiera que un papel pase bajo la banda, la respuesta correcta es que se puede incluso pasar la pelota de tenis, ya que la banda se despega de la esfera unos 16 cm.

La altura a la que se elevará la banda de la esfera es la misma independientemente del tamaño de la esfera, por muy grande que sea. El porqué de este hecho es el siguiente:

Cuando la banda de la esfera está tensa alrededor de la esfera, es la circunferencia de un círculo con un radio que es el radio de la esfera. Sabemos a partir de la geometría plana que la circunferencia de un círculo es igual a su diámetro (que es el doble de su radio) multiplicado por el número π.

π es 3,14159... es decir, ligeramente mayor que 3. Por tanto, si aumentamos la circunferencia de cualquier círculo en un metro, debemos incrementar el diámetro un poquito menos que el tercio de metro, es decir, algo más de 31 cm. Eso significa que el radio aumentará 16 cm.

Esto funciona con esferas de cualquier tamaño, ya sean mil billones de veces el tamaño del Sol o del tamaño de una naranja.

¡Chupate esa mandarina!

Fuente: Wikipedia
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Hilbert… tipo jodido si los hubo.

 

David Hilbert (1862-1943) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.

Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor.

En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein. Pero no fue tan jodido por esto ya que en realidad nunca quiso otorgarse el mérito.

Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es la presentación de su conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

Hilbert propuso esta muy influyente lista de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que ésta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático.

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?

2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.

4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?

5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?

7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, la raíz cuadrada de 2, etc.

8. El problema de la distribución de los números primos.

9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.

10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.

11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.

12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.

13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.

14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.

15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.

16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.

17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.

18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.

19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?

20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.

21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.

22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.

23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos.

De más está decir que ni siquiera llego a entender de qué se trata la mayor parte de estos problemas pero ¡me encantaría saberlo!

Lo que sí sé es que un tipo que te hace estas preguntas tiene que haber sido bien jodido ¿o no?

Fuente: Wikipedia

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Lo que estoy leyendo

Luego de bastante tiempo finalmente pude terminar de leer “¿Existe la suerte?” de Nassim Taleb.

Como había adelantado en mi entrada anterior sobre este libro (http://maurito66.blogspot.com/2009/07/lo-que-estoy-leyendo_25.html), el autor es bastante complicado para hacerse entender. Escribe unas pocas líneas o palabras sobre algún asunto y se supone que uno debe entender completamente de qué está hablando. Para él seguramente debe estar claro porque lo tiene dentro de su cabeza, pero para el resto de la humanidad no.

El libro no es malo, pero no será uno de mis preferidos, eso lo puedo afirmar con seguridad. Contiene algunos capítulos bastante interesantes sobre lo que un “inversionista” debería esperar cuando “apuesta” en la Bolsa de Comercio. No es un manual de cómo hacer dinero, sino más bien una explicación de que si se gana, es por azar. De todos modos da algunos tips que no viene mal conocer acerca del tema.

Mi veredicto final: recomendable pero a medias. El tema es interesante pero el autor no sabe escribir. Vale la pena leerlo por lo que se aprende, pero hay que aguantarse lo que dice a medias. No digan que no les avisé.

Aunque sigo con un ritmo de lectura diaria bastante pobre, comencé con el libro que tenía en la lista de espera: “Gödel para todos”, dedicado exclusivamente a explicar el origen, el concepto, la demostración y las consecuencias del Teorema de Incompletitud de Gödel. Matemática pura. Peor aún, lógica pura.

El Teorema de Incompletitud de Gödel trata de la verdad en matemáticas y de la parte de verdad que puede ser comprobada a partir de axiomas, en esos fragmentos de texto de líneas sucesivas encadenadas por pasos lógicos que los matemáticos llaman demostración.

Sólo por si alguien tiene curiosidad de cómo “suena” el teorema les dejo aquí una de sus versiones:

“Todo sistema axiomático consistente y recursivo para la aritmética tiene enunciados indecidibles*. En particular, si los axiomas del sistema son verdaderos, puede exhibirse un enunciado verdadero y no demostrable dentro del sistema”.

*Un enunciado es indecidible si no puede ser demostrado ni refutado.

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Lo que estoy leyendo

El que mucho abarca, poco aprieta, dice la sabiduría popular.

Me está sucediendo algo de eso: tengo demasiado para leer sobre la mesa de luz. Ya terminé con el tomo I del “Curso de Lingüística General” de Ferdinand de Saussure (algo así como el padre de la lingüística) y ahora estoy con el tomo II. En mis ratos libres y cuando tengo ganas sigo con mis estudios de lingüística con un par de libros más que también consulto.

También tengo junto a la cama “Los más terribles apodos” de Eduardo de Castro, algo un poco más superficial que el primero, con contenido del estilo de “huevo de Pascua”: redondo, negro y lleno de boludeces… o “caballito de mar”: se cree un potro y no es más que un pescado… o el apenas un poco más fuerte “alacrán”: se defiende con la cola…

Voy mechando, un poco de cultura rayando en la filosofía y un poco de humor y pasatiempo ligero. Disfruto de ambos extremos (en la lectura, digo).

Como si eso fuera poco, me regalaron este fin de semana uno de los últimos lanzamientos editoriales. Se trata en este caso de “¿Existe la suerte? Las trampas del azar” de Nassim Nicholas Taleb, del mismo autor de “El cisne negro” libro que no conozco pero parece que ha sido un éxito internacional.

El de la foto es el Sr. Taleb.

“… Este libro trata de la suerte o, para ser más precisos, de cómo percibimos la suerte en nuestras experiencias personales y profesionales…”

“… A lo largo de las páginas de este libro, lleno de anécdotas y de historias sorprendentes, Taleb hace desfilar a diferentes personajes que han conseguido comprender, cada uno a su manera, la importancia de la suerte: desde Solón, uno de los grandes sabios de la Antigüedad, y el héroe mitológico Ulises, hasta Karl Popper, filósofo del conocimiento, y el financiero George Soros…”

No es un libro de matemáticas ni siquiera uno de probabilidad desde el punto de vista matemático (aunque en algunos párrafos se mencionen estas disciplinas y sus teorías). Mas bien el autor se propone demostrar que en nuestra vida, comportamiento, acciones, y efectos de todos ellos hay bastante más azar del que estamos dispuestos normalmente a aceptar. Peor aún, la mayor parte de las veces logramos encontrar toda clase de explicaciones lógicas y causales a algo que ya nos sucedió, cuando en realidad, en opinión de Taleb, sólo fue un efecto del azar.

El libro tiene 348 páginas y voy por la 110, casi una tercera parte del mismo. El contenido es interesante, pero el autor es un poco complicado para escribir y bastante desordenado. Comienza con un tema y va cambiando el mismo y agregando otros en el espacio de menos de cinco líneas. Por lo tanto se hace un poco difícil de seguir sus relatos a menos que uno esté sumamente concentrado. Encima está continuamente mencionando que tal tema o asunto será ampliado más adelante en los capítulos posteriores. Como ya leí una tercera parte y hasta ahora no ha aclarado nada de lo que dejó pendiente, estoy perdiendo un poco las esperanzas de que  pueda entender completamente lo que escribió hasta esta altura del libro.

Promete ser más interesante en los restantes capítulos pero no puedo garantizar nada por el momento. Tendrán que esperar que lo termine de leer y les diga mi veredicto final.

Comencé a escribir esta entrada hace unos días atrás. Ahora debo agregar que ayer me topé con otro libro y ahora está también en mi mesa de luz, esperando en las “gateras”. Se trata de “Gödel para todos”, de Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro (ambos argentinos). El libro es una explicación de los usos y una demostración matemática del teorema de incompletitud de Gödel, teorema que es aplicado no sólo en matemáticas sino también en semiótica, psicoanálisis, filosofía y ciencias políticas.

Un delirio… ya lo sé. No sé si de todo esto saldrá algo útil, pero Alzheimer seguro que no voy a tener.

Una perlita que me acabo de enterar leyendo las referencias del autor. Guillermo Martínez no sólo es matemático sino que ha escrito varias obras literarias, entre ellas la novela Crímenes imperceptibles que fue traducida a 35 idiomas y que el cineasta Alex de la Iglesia transformó en la película Los crímenes de Oxford.

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Lo que estaba leyendo

Hace un par de días terminé de leer el libro sobre la historia de las matemáticas. Me duró 20 días lo cual es bastante poco dado el tamaño del libro y el tema del mismo. Para mí fue super interesante, pero debo reconocer que a veces debía releer un párrafo para comprenderlo totalmente. Y con unos pocos casos me tuve que rendir, hay cosas que me superaron. La primera parte del libro es relativamente fácil para quienes tenemos una base matemática de la universidad, pero hacia la mitad del mismo cuando comienzan a aparecer los diferentes tipos de geometrías no euclideanas, o las dimensiones más allá de la tercera o cuarta por citar sólo dos temas, hay que estar muy lúcido y exprimir las neuronas al máximo para “creer” que uno entendió todo. Hay una parte de la matemática que me apasiona y es la relacionada con los teoremas que aún no han sido demostrados. Por suerte el autor de este libro le dedica unos cuantos párrafos a lo largo del mismo en donde menciona esos teoremas y los esfuerzos que se han hecho para conseguir la demostración correspondiente. Uno de los más famosos teoremas siempre ha sido el conocido como el Último Teorema de Fermat, cuyo enunciado tiene menos palabras y números que una respuesta de patinadora o bailarina de Tinelli, pero que la demostración es más complicada que completar un formulario de la AFIP. A propósito de Fermat, nunca me pidieron que demostrara su último teorema, pero mientras cursaba Algebra I en la facultad ¡cómo me hizo sufrir por la impotencia de no poder ni siquiera darme cuenta de lo que este tipo estaba hablando! ¡Qué H de P! Pero aunque nosotros no tengamos ni siquiera derecho a intentar comprender lo que dijo, él y otros tipos de la misma calaña se encargaron de enunciar teoremas y propiedades de los números que hoy usamos por ejemplo para encriptar archivos, manejar claves bancarias, usar la firma digital (no muy usada en nuestro país aún), etc., etc. Gracias Fermat por tanto sufrimiento y por la posibilidad de sentirnos tan poca cosa! Andáaaaaa….!!!! Nota: esta entrada tiene una primera parte. Para leerla, hacé click aquí.

Lo que estoy leyendo

Ian Stewart, Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Ya sé: no es común leer en vacaciones de verano; no es común "entretenerse" con matemáticas... Pero vayan enterándose: no soy un tipo común. Para comenzar, me gustan las ciencias, especialmente las matemáticas y la astronomía, aunque también puedo conformarme con geología, ingeniería u otras yerbas habituales del discovery channel. El libro es bueno y para "gente como uno", entretenido. La edición original es del 2007, pero la traducción española es del 2008. Aquí en Argentina ha salido hace muy poco tiempo. Y en cuanto lo vi, lo compré. Digamos para no exagerar que lo estoy disfrutando. Calificación: 3 "Mauritos" 1 Maurito = Malo - 2 Mauritos = Regular - 3 Mauritos = Bueno - 4 Mauritos = Muy Bueno Para los que comparten este tipo de gustos les digo que ya leí también el cuarto libro de Paenza que salió este año. Me duró unos tres días, más o menos. Calificación: 3 "Mauritos" 1 Maurito = Malo - 2 Mauritos = Regular - 3 Mauritos = Bueno - 4 Mauritos = Muy Bueno