Damos por sentadas muchas cosas.
Es lógico. No podemos cuestionarnos cada paso que damos, cada palabra que decimos (aunque es de inteligentes al menos pensarlas antes de decirlas), cada suceso de nuestras vidas.
Yo por ejemplo doy por sentado que el actual INDEC miente, que Kretina es tan mala como la prensa, que el dólar se irá a la m…. un día de estos… y un montón de cosas más que doy por sentado que no es necesario que las detalle para que me crean.
Cuando contamos o hacemos cálculos damos por sentadas muchas verdades de las cuales no tenemos en general la más mínima idea de que son tales.
Pero a un matemático, algún día, tarde o temprano, le llega la hora de preguntarse si lo que está haciendo tiene algún sustento. A Giuseppe Peano eso le ocurrió allá por 1889 (en realidad la duda le debe haber aparecido algún tiempo antes) cuando en su obra Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita presentó sus cinco axiomas de los números enteros positivos.
Los axiomas de Peano son la base estructural de la construcción de la aritmética y la teoría de números y los aplicamos cada vez que contamos y sumamos.
Los cinco axiomas dicen algo así como:
1. 0 (cero) es un número.
2. El sucesor de cualquier número también es un número.
3. Si n y m son números y sus sucesores son iguales, entonces n y m son iguales.
4. 0 (cero) no es el sucesor de ningún número.
5. Si S es un conjunto de números que contiene al cero y si el sucesor de cualquier número que pertenece a S también pertenece a S, entonces S contiene todos los números.
Si estas cinco “verdades” les parecen una pelo…tudez, déjenme decirles que sin ellas casi toda las matemáticas se vendrían abajo y aunque eso no le interese a la mayor parte del universo, sepan que no serían capaces de saber que después del 1 y del 2 viene el 3, o que 1 más 1 es dos.
A propósito, estos cinco axiomas no bastan para salir a la calle y gritar a los cuatro vientos que 1+1=2… ¡hay que demostrarlo!
Eso es lo que hicieron los filósofos y matemáticos británicos Bertrand Russel y Alfred North Whitehead en su obra Principia Mathematica, una obra en tres volúmenes y casi dos mil páginas, publicada entre 1910 y 1913. En esta obra los autores intentan deducir las verdades matemáticas a partir de axiomas y reglas de inferencia de lógica simbólica (créanme que lo estoy leyendo de un libro, no tengo la más mínima idea de lo que es lógica simbólica).
La demostración de que 1+1=2 ocupa ¡varios cientos de páginas! y finaliza con la frase “La proposición anterior puede resultar útil en alguna ocasión”.
Como ven, contar y sumar no es soplar y hacer botellas…
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lunes, 13 de junio de 2011
domingo, 13 de febrero de 2011
¡Qué grande este Google!
A través de la historia de las diferentes civilizaciones el hombre ha necesitado expresar cantidades y números cada vez mayores.
En nuestra vida cotidiana, y sobre todo tratándose de dinero, es probable que nos alcance con poder expresar cientos, miles o cientos de miles si estamos hablando de gente rica o de esas pocas ocasiones en las que compramos una propiedad (casa, departamento o algo por el estilo).
Para esos casos, entonces, nos basta con tener
100 - cien: un uno seguido de 2 ceros
1000 - mil: un uno seguido de 3 ceros
100.000 - cien mil: un uno seguido de 5 ceros
Si usted es millonario, entonces su resumen bancario tendrá números mayores a esos y estará habituado a tratar con
1.000.000 - millón: un uno seguido de 6 ceros
En matemáticas todas esas cantidades pueden escribirse como potencias de 10, de la siguiente forma:
100 = 10^2 (10^2 significa 10 x 10, lo cual es igual a 100)
1000 = 10^3
100.000 = 10^5
1.000.000 = 10^6
Esto no pretende ser una clase de matemáticas, pero necesito mencionarlo para hacer más fácil lo que sigue.
Nótese que la potencia de 10 (el número que sigue al símbolo ^) es exactamente la cantidad de ceros que le siguen al 1.
Pero volviendo a los números que necesitamos los humanos en diversas disciplinas, los que ya mencioné no bastan. Hace mucho ya que surgió la necesidad de hablar de cantidades mayores, mucho mayores.
Aquí van. Es probable que nunca hayan escuchado acerca de muchas de ellas...
Billón: 10^12 (un 1 seguido de 12 ceros, es decir, un millón de millones).
Trillón: 10^18
Cuatrillón: 10^24
Quintillón: 10^30
Sextillón: 10^36
Septillón: 10^42
Octillón: 10^48
Nonillón: 10^54 (espero que a esta altura no se hayan dormido... ¡cuac!)
Decillón: 10^60
Algunos ejemplos:
Masa de la Tierra: 6 cuatrillones de kilos, 6x10^24
Número de átomos en el cuerpo humano: 10^28
Número de partículas elementales en todo el Universo (electrones, protones, etc.): 10^82
Pero hay gente ambiciosa que no se conforma con esas cantidades, nada le alcanza. Es el caso del matemático estadounidense Edward Kasner quien en cierta ocasión le pidió a su sobrino de 9 años que inventara un nombre para un número gigantesco: un uno seguido de 100 ceros (10^100). El niño no sólo le dio el nombre para ese número sino también para otro aún más inimaginable que era un 1 seguido de los ceros que tenía el primero, es decir 10^(10^100).
Para el primero, el nombre inventado fue googol (pronunciar gúgol), y para el segundo que sería un uno seguido de un googol de ceros, el nombre fue googolplex (gúgolplex).
Bien espero que hayan llegado hasta aquí, porque lo realmente interesante de esta entrada es el hecho que el famoso buscador de internet Google tomó su nombre del número googol, quizá pensando en la cantidad de información capaz de manejar en sus búsquedas.
Habrá que preguntarle a Google si tiene en sus servidores una cantidad tal de datos que sería un trillón (!!) de veces superior que el total de partículas elementales de todo el Universo.
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En nuestra vida cotidiana, y sobre todo tratándose de dinero, es probable que nos alcance con poder expresar cientos, miles o cientos de miles si estamos hablando de gente rica o de esas pocas ocasiones en las que compramos una propiedad (casa, departamento o algo por el estilo).
Para esos casos, entonces, nos basta con tener
100 - cien: un uno seguido de 2 ceros
1000 - mil: un uno seguido de 3 ceros
100.000 - cien mil: un uno seguido de 5 ceros
Si usted es millonario, entonces su resumen bancario tendrá números mayores a esos y estará habituado a tratar con
1.000.000 - millón: un uno seguido de 6 ceros
En matemáticas todas esas cantidades pueden escribirse como potencias de 10, de la siguiente forma:
100 = 10^2 (10^2 significa 10 x 10, lo cual es igual a 100)
1000 = 10^3
100.000 = 10^5
1.000.000 = 10^6
Esto no pretende ser una clase de matemáticas, pero necesito mencionarlo para hacer más fácil lo que sigue.
Nótese que la potencia de 10 (el número que sigue al símbolo ^) es exactamente la cantidad de ceros que le siguen al 1.
Pero volviendo a los números que necesitamos los humanos en diversas disciplinas, los que ya mencioné no bastan. Hace mucho ya que surgió la necesidad de hablar de cantidades mayores, mucho mayores.
Aquí van. Es probable que nunca hayan escuchado acerca de muchas de ellas...
Billón: 10^12 (un 1 seguido de 12 ceros, es decir, un millón de millones).
Trillón: 10^18
Cuatrillón: 10^24
Quintillón: 10^30
Sextillón: 10^36
Septillón: 10^42
Octillón: 10^48
Nonillón: 10^54 (espero que a esta altura no se hayan dormido... ¡cuac!)
Decillón: 10^60
Algunos ejemplos:
Masa de la Tierra: 6 cuatrillones de kilos, 6x10^24
Número de átomos en el cuerpo humano: 10^28
Número de partículas elementales en todo el Universo (electrones, protones, etc.): 10^82
Pero hay gente ambiciosa que no se conforma con esas cantidades, nada le alcanza. Es el caso del matemático estadounidense Edward Kasner quien en cierta ocasión le pidió a su sobrino de 9 años que inventara un nombre para un número gigantesco: un uno seguido de 100 ceros (10^100). El niño no sólo le dio el nombre para ese número sino también para otro aún más inimaginable que era un 1 seguido de los ceros que tenía el primero, es decir 10^(10^100).
Para el primero, el nombre inventado fue googol (pronunciar gúgol), y para el segundo que sería un uno seguido de un googol de ceros, el nombre fue googolplex (gúgolplex).
Bien espero que hayan llegado hasta aquí, porque lo realmente interesante de esta entrada es el hecho que el famoso buscador de internet Google tomó su nombre del número googol, quizá pensando en la cantidad de información capaz de manejar en sus búsquedas.
Habrá que preguntarle a Google si tiene en sus servidores una cantidad tal de datos que sería un trillón (!!) de veces superior que el total de partículas elementales de todo el Universo.
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