En el siglo XIX se observó que en R3 toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera, por lo que podemos afirmar que topológicamente sólo hay una variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa que es la esfera.
En 1904, el matemático francés Henri Poincaré conjeturó que el resultado obtenido para la 2-esfera de R3 tenía un análogo para la 3-esfera de R4. En otras palabras, en R4 toda variedad de dimensión 3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión 3.
¡Ahá! ¿A que no entendieron nada?
Bueno, yo tampoco. Y se preguntarán por qué hablo de lo que no sé… bueno, no soy el único. Enciendan la radio, el televisor, o escuchen a su jefe y tendrán miles de ejemplos.
Volvamos a la conjetura de Poincaré (el muchacho de la foto de arriba) que es lo que está enunciado en el comienzo de esta entrada.
La siguiente figura ayuda a visualizar el significado de la conjetura:
En una 2-esfera (esfera en un espacio de tres dimensiones, es decir una pelota de fútbol del tipo de la Jabulani), cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. Esta condición caracteriza la 2-esfera. La conjetura de Poincaré extiende este hecho a la 3-esfera en la cuarta dimensión, más difícil de visualizar y que no fue demostrada sino hasta el siglo XXI.
Entre 1961 y 1986 se demostraron los casos equivalentes para 5, 6 y más de 7 dimensiones (¿se imaginan una Jabulani de 7 dimensiones?), pero el de la cuarta dimensión, justamente el caso de la conjetura de Poincaré se resistía a ser demostrado.
Esta conjetura es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge. Son problemas con verdadera relevancia en matemáticas y que, por diferentes hechos, se resisten a su resolución. La Conjetura de Poincaré pasó a ser llamada como tal y se convirtió en el Teorema de Poincaré, tras su demostración definitiva en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman.
Los diarios de hoy informan que Perelman anunció que rechaza el premio de un millón de dólares que se le concedió por haber resuelto el problema. La noticia puede parecer vieja, sin embargo la demora en el premio puede deberse a los requisitos que deben verificarse antes de considerar válida la demostración y el autor.
El caso es que este ruso se niega a recibir un palo verde ¡pueden creerlo! ¡Es TERIBLE"!
Bueno, ¿y por qué alguien querría pagar tanto dinero por una solución de un problema que casi nadie puede ver o entender? Como pasa con casi todas (por no decir todas, por las dudas que haya una excepción) las demostraciones de teoremas matemáticos y todas las teorías que existen, siempre hay alguien que encuentra una aplicación.
A veces, como en este caso, la aplicación no surge de lo que Poincaré conjeturaba con sus pelotas, digo, con las esferas, sino de las herramientas matemáticas desarrolladas para llegar a la demostración de la conjetura.
En efecto, Perelman se valió de algo llamado técnica de flujos de Ricci (nada que ver con Nina) para llegar a su demostración.
Hace un par de años, se publicó una propuesta de modelado de crecimiento de tumores usando la técnica de flujos de Ricci. Los autores proponen el uso de esa técnica para el control de la formación de tumores cancerígenos multicelulares no irrigados.
Como ven, si es que llegaron a leer hasta aquí, este es otro ejemplo de las aplicaciones prácticas de las matemáticas que tanto cuestan ser apreciadas por la inmensa mayoría de la humanidad, en la cual no me incluyo, no por no ser humano, sino porque me gustan las matemáticas y sus aplicaciones (aunque no comprenda todas).
Fuentes de información:
http://topologia.wordpress.com/2009/03/04/la-conjetura-de-poincare/
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